Exercices Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison

Dans un jeu, le personnage se déplace dans un labyrinthe modélisé par la grille ci-dessous.

Il suit les lignes avec les règles suivantes :

• il part du point $E$, de coordonnées $(0\ ;\, 0)$, et se déplace sur les lignes et sur les points de coordonnées entières, par sauts de $1$ unité ;
• sur une ligne horizontale, il se déplace uniquement vers la droite,
• ce déplacement est noté $\text{D}$ ;
• sur une ligne verticale, il se déplace uniquement vers le haut,
• ce déplacement est noté $\text{H}$.

Le chemin est codé par un mot constitué d'une succession de lettres $\text{D}$ et $\text{H}$ correspondant à chaque saut effectué.

• La longueur de ce mot est appelée longueur du chemin et notée $n$, avec $n$ compris entre $0$ et $15$.

Par exemple, pour se rendre au point $A\,(\purple 2\ ;\, \blue 1)$, le personnage doit effectuer $\purple 2$ sauts vers la droite et $\blue 1$ saut vers le haut, dans n’importe quel ordre, soit $\purple 2+\blue 1=\green 3$ sauts au total.

• La longueur du chemin est toujours $\green 3$ dans ce cas.
• Un des chemins possibles est le chemin $\text{DHD}$.

Question 1

Justifier que, pour se rendre au point $A$ en partant de $E$, le personnage a $\binom 31$ choix possibles.
Donner la valeur de $\binom 31$.

Question 2

Le personnage doit aller chercher $3$ clés dans le labyrinthe. L’une d’entre elles est positionnée en $T\,(5\ ;\, 4)$.

• Quelle est la longueur des chemins entre $E$ et $T$ ?
• Dénombrer les chemins différents entre le point $E$ et le point $T$ : montrer qu’il y en a $126$.
• En $P\,(4\ ;\, 2)$ se trouve un piège que le personnage doit éviter.
  Combien de chemins y a-t-il qui permettent de passer de $E$ à $T$ sans passer par le point $P$ ?

Question 3

Dans le jeu, on peut programmer pour le personnage une marche aléatoire de longueur $n$, où $1\leq n\leq 15$ : l’ordinateur affecte un pas vers la droite ou vers le haut de manière aléatoire, $n$ fois consécutivement.

• Cette marche est codée par un mot de longueur $n$, où les lettres sont toujours $\text{H}$ ou $\text{D}$.
• Combien de chemins différents de longueur $n$ existe-t-il ?
• Quelle est la probabilité que, sur un chemin aléatoire de longueur $9$, le personnage effectue le chemin de $E$ à $T$ sans passer par $P$ ?

Question 4

Le personnage a récupéré ses $3$ clés, qui sont $3$ chiffres distincts entre $1$ et $7$.
Combien de codes différents peut-on écrire avec ces $3$ chiffres ?